Les fractions

Amplification, simplification et fractions irréductibles

Nous nous étions arrêter sur la semaine dernière sur l’amplification, la simplification et les fractions irréductibles. Attention, les exercices de ce chapitre doivent se faire sans la calculatrice ! Comme rappel, vous pouvez vous référer à la vidéo suivante ou à l’aide-mémoire p.29.

Voici les exercices en lien avec cet objectif :

Transformer une fraction en nombre décimal et vice-versa

Il existe deux méthodes pour transformer une fraction en nombre décimal :

• Effectuer la division, celle du numérateur (nombre du haut) par le dénominateur (nombre du bas). Cette méthode est présentée dans la vidéo ci-dessous.
• Convertir la fraction pour avoir une puissance de 10 (1, 10, 100, …) au dénominateur.

Exemple : On cherche à transformer la fraction \( \frac{3}{2}\) en nombre décimal. Pour ce faire, j’amplifie la fraction pour avoir une puissance de 10 au dénominateur. \($$ \frac{3}{2}= \frac{15}{10}= \frac{150}{100}=1,5 $$\)

Attention : Pour certaines fractions, il n’est pas possible d’avoir une puissance de 10 au dénominateur. Par exemple, les fractions \( \frac{1}{3} \) ou \( \frac{1}{9} \). Dans ce cas, il faut effectuer la division et constater que le développement décimal est périodique.

Inversement, il est possible de transformer un nombre décimal en fraction. Deux possibilités s’offrent à nous :

• Le nombre décimal à transformer possède un développement décimal fini. Dans ce cas, il faut écrire la fraction à l’aide d’une puissance de 10 au dénominateur. On peut aussi, dans certains cas, s’aider d’une des conversions ci-dessous.
• Le nombre décimal à transformer possède un développement décimal périodique. Dans ce cas, il faut utiliser l’une des conversions ci-dessous.

Conversions à connaître par cœur :

• \( \frac{1}{3} = 0,\overline{33} \)
• \( \frac{2}{3} = 0,\overline{66} \)
• \( \frac{1}{4} = 0,25 \)
• \( \frac{1}{2} = 0,5 \)
• \( \frac{3}{4} = 0,75 \)
• \( \frac{1}{5} = 0,2 \)

Exemple : Je souhaite transformer le nombre \( 1,\overline{33} \) en fraction. Je peux donc utiliser l’égalité \( \frac{2}{3} = 0,\overline{66} \) et constater que \( 0,\overline{66} + 0,\overline{66} = 1,\overline{33} \). Il me faut alors deux fois \( \frac{2}{3} \), c’est-à-dire \( \frac{4}{3} = 1,\overline{33} \).

D’autres exemples et explications se trouvent à la page 28 de l’aide-mémoire.

Voici les exercices en lien avec cet objectif :

Pour terminer cette introduction aux fractions, ils nous restent à voir la notion de pourcentage. Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100.

Exemples :

• \( 20\%=\frac{20}{100}= \frac{1}{5}=0,2 \)
• \( 110\%=\frac{110}{100}= \frac{11}{10}=1,1 \)

Les fiches NO204, NO205 et Faire le point p.73-74 permettent de clôturer l’introduction aux fractions.

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut qu’elles aient le même dénominateur. Si l’on regarde l’addition suivante, elle ne semble pas évidente \( \frac{2}{3} + \frac{3}{6} \).

Cependant, si j’effectue le même calcul en amplifiant la première fraction par 2 (\( \frac{4}{6} + \frac{3}{6} \)), le calcul devient plus intuitif. En effet, je peux me demander combien de parts de gâteau j’aurai si j’en prends \(\frac{4}{6}\) et \(\frac{3}{6} \) . La réponse est \(\frac{7}{6} \) .

On peut donc résumer le calcul de départ de la manière suivante : \($$ \frac{2}{3} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} $$ \)

Généralement, deux cas de figure se présentent lorsque l’on souhaite additionner ou soustraire des fractions :

• Les deux fractions ont le même dénominateur. Dans ce cas, il suffit d’additionner ou soustraire les numérateurs. Le dénominateur, quant à lui, ne change pas. \($$ \frac{7}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7+4}{5} = \frac{11}{5} $$\) \($$ \frac{13}{3} – \frac{4}{3} = \frac{13-4}{3} = \frac{9}{3} = \frac{3}{1} = 3 $$\)
• Si les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, il faut commencer par amplifier ou simplifier une ou les deux fractions afin qu’elles aient le même dénominateur. Je me retrouve ensuite dans la première situation. \($$ \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4} $$\) \($$ \frac{3}{7} – \frac{4}{21} = \frac{9}{21} – \frac{4}{21} = \frac{5}{21} $$\)

Astuce : Pour mettre les deux fractions au même dénominateur, je peux chercher le PPMC des deux dénominateurs puis, amplifier les fractions pour avoir le PPMC comme dénominateur.

Exemple : Je veux additionner \( \frac{7}{13} \) et \( \frac{3}{2} \) . Je commence par trouver PPMC (2;13) = 26. Il faut donc que je mette mes deux fractions sur 26 (\( \frac{7}{13} = \frac{14}{26} \) et \( \frac{3}{2}= \frac{39}{26} \)) . Pour terminer, je peux effectuer l’addition \($$ \frac{7}{13} + \frac{3}{2} = \frac{14}{26} + \frac{39}{26} = \frac{53}{26} $$\)

Remarque : Si ma réponse n’est pas une fraction irréductible, je dois la réduire !

Exercices : Vous pouvez faire les exercices suivants (fiches) pour le mercredi 25 mars : NO220, NO221, NO222, NO223. Si vous voulez des exercices supplémentaires, n’hésitez pas à aller sur Gomaths !